Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD ∥ BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD ∥ BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB 向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，（1）直角梯形ABCD的面积为______cm 2 ；（2）当t=______秒时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）当t=______秒时，AQ=DC；（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形 ∴DM=AB=6cm． 在直角△CDM中，CM= CD 2 - DM 2 =8cm ∴BC=BM+CM=4+8=12cm ∴直角梯形ABCD的面积为 1 2 （AD+BC）?AB=48cm 2 ； （2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形 即4-4t=5t 解得t= 4 9 ； （3）BQ=12-5t 在直角△ABQ中，AB 2 +BQ 2 =AQ 2 即6 2 +（12-5t） 2 =10 2 解得t= 4 5 ； （4）存在， t= 7 4 ． 连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t 若QP⊥CD，则2S △DQC =CQ×AB=CD×QP 得QP=3t 在Rt△QPC中 QP 2 +PC 2 =CQ 2 ，即（3t） 2 +（14-4t） 2 =（5t） 2 解之得 t= 7 4 求得BC=12 CP=14-4t=7＜10 CQ=5t= 35 4 ＜12 所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．