Question

如图一，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD平行于BC，且AD=4cm,AB=6cm,DC=10cm.若动点P从A点出发

如图一，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD平行于BC，AD=4cm,AB=6cm,DC=10cm.若动点P从A点出发以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设点P、Q同时出发，并运动了t秒。

是否存在t,使得点P在线段DC上，且PQ ⊥DC，如图二，若存在，求t，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM= CD2-DM2=8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面积为 12（AD+BC）•AB=48cm2；

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形
即4-5x=4x
解得x= 49；

（3）BQ=12-5x
在直角△ABQ中，AB2+BQ2=AQ2
即62+（12-5x）2=102
解得x= 45；

（4）存在， t=74．
连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在RtS△QPC中
QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14-4t）2=（5t）2
解之得 t=74
求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t= 354＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

Answer 2

简单。要做的事情就是证明三角形PQC是直角三角形就可以了。
根据题目内容可知，因为AD=4cm,AB=6cm,DC=10cm，所以角C为45度角。所以要证明的就变成了PQ等于PC。也就是说，只要证明了在t时，PQ=PC，那么此时PQ ⊥DC。
QC=5t，PC=4+(6√2)-4t
令 √2PC=QC
解得答案，t=(4√2+12)/(4√2+5)≈1.66 (s)＜2 (s)
所以存在t,使得点P在线段DC上，且PQ ⊥DC，t≈1.66 (s)

Answer 3

存在， t=74．
连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在RtS△QPC中
QP^2+PC^2=CQ^2，即（3t）^2+（14-4t）^2=（5t）^2
解之得 t=74
求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t= 354＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

Answer 4

存在，做垂线DE垂直于AC，则有DE=AB=6cm
连接DQ，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC
有CQ×DE=CD×QP
设PQ=x，，又因为DC=10cm，DE=6cm，
所以有等式CQ×DE=CD×QP
=5t×6=10x，则PQ=3t.在RtS△QPC中
QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14-4t）2=（5t）2
解之得求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t= ＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC。
你们都没说明QP=3t是怎么得来的，提问者能理解吗？

Answer 5

在，做垂线DE垂直于AC，则有DE=AB=6cm
连接DQ，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC
有CQ×DE=CD×QP
设PQ=x，，又因为DC=10cm，DE=6cm，
所以有等式CQ×DE=CD×QP
=5t×6=10x，则PQ=3t.在RtS△QPC中
QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14-4t）2=（5t）2
解之得求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t= ＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC。