Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若关于x的方程f（x）=g

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若关于x的方程f（x）=g（x）有两解，求实数a的取值范围；（3）若a＞53，记h（x）=1ag（x）f（x），试求函数y=h（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=|x|为偶函数；
当a≠0时，f（x）=|x-a|为非奇非偶函数．
（2）由|x-a|=ax，
若a=0，则方程等价为|x|=0，此时x=0，只有一个解，不满足条件．
若a＞0，分别作出函数y=|x-a|与y=ax的图象，
此时只要满足当x≥a时，y=|x-a|=x-a与y=ax有交点即可，
此时满足y=ax的斜率a＜1，即0＜a＜1，
若a＜0，只要满足当x≤a时，y=|x-a|=-x+a与y=ax有交点即可，
此时满足y=ax的斜率a＞-1，即-1＜a＜0，
综上0＜a＜1或-1＜a＜0．
（3）h（x）=

1

a

g（x）f（x）=

1

a

?|x-a|?ax=|x-a|?x=

x2?ax， x≥a ?x2+ax， x＜a

=

(x? a 2 )2? a2 4 x≥a ?(x? a 2 )2+ a2 4 x＜a

，
当

5

3

＜a＜2时，f（x）在[1，a]上递减，在[a，2]上递增，h（1）-h（2）=3a-5＞0，h（1）＞h（2），
h（x）_max=h（1）=a-1．
当2≤a≤4时，h_max（x）=F（

a

2

）=

a2

4

，＞＜≠
当a＞4时，h_maz（x）=h（2）=-4+2a，
∴h_maz（x）=

a?1， 5 3 ＜a＜2 a2 4 ， 2≤a≤4 2a?4， a＞4

．