Question

数学：圆x²+y²+4x-4y-1=0与圆x²+y²+2x-13=0相交于P，Q两点。（1）求直线PQ的方程。

数学：圆x²+y²+4x-4y-1=0与圆x²+y²+2x-13=0相交于P，Q两点。（1）求直线PQ的方程。（2）求公共弦PQ的长。

Answer 1

答：
（1）
x^2+y^2+4x-4y-1=0……（a）
x^2+y^2+2x-13=0……（b）
（a）减去（b）得：
2x-4y+12=0
所以直线PQ的方程为：x-2y+6=0

（2）PQ直线x-2y+6=0，x=2y-6代入圆x^2+y^2+2x-13=0整理得：
5y^2-20y+11=0
根据韦达定理得：
y1+y2=20/5=4，x1+x2=2（y1+y2）-12=2*4-12=-4
y1*y2=11/5，x1*x2=(2y1-6)(2y2-6）=4y1*y2-12(y1+y2)+36=4*11/5-12*4+36=-16/5
所以：
PQ=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1+x2)^2-4x1*x2+(y1+y2)^2-4*y1*y2]
=√[(-4)^2-4(-16/5)+4^2-4*11/5]
=6
所以：弦长PQ=6.

Answer 2

解：
（1）
x²+y²+4x-4y-1=0 ①
x²+y²+2x-13=0 ②
①-②得
2x-4y+12=0
即x-2y+6=0
∴直线PQ的方程为 x-2y+6=0
（2）
x²+y²+4x-4y-1=0得 (x+2)²+(y-2)²=9
圆心为(-2，2)，半径为r=3
将（-2， 2）代方程x-2y+6=0得
-2-2*2+6=0
∴PQ过圆(x+2)²+(y-2)²=9的圆心
因此PQ的长等于直径
∴|PQ|=直径=6

Answer 3

两个圆的方程相减就是pq的方程，至于弦长，求的直线方程代入到任意一个圆方程中，求的焦点坐标，然后利用两点之间直线距离求解。