Question

数学建模优化问题

油管铺设
某石化公司要铺设一根石油管道，将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点，如图所示。炼油厂附近有条宽2.5km的河，灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处。如果在水中铺设管道的费用为6万元／km，在河边铺设管道的费用为4万元／km，试在河边找一点p,使管道铺设费最低。

Answer 1

解：

如上图铺设管道。

设：P点位于炼油厂下游x（km）处，0≤x≤10。铺设的总费用是y万元。

依题意和已知，有：

y=4x+6√[2.5²+(10-x)²]

y=4x+6√(x²-20x+106.25)

y'=4+3(2x-20)/√(x²-20x+106.25)

y'=[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)

1、令：y'＞0，即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＞0

有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＞0

30-3x＜2√(x²-20x+106.25)

9x²-180x+900＜4(x²-20x+106.25)

x²-20x+95＜0

(x-10)²＜5

10-√5＜x＜10+√5

因为：0≤x≤10，

所以：当10-√5＜x≤10时，y是单调增函数；

2、令：y'＜0，即：[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)＜0

有：2√(x²-20x+106.25)+3x-30＜0

30-3x＞2√(x²-20x+106.25)

9x²-180x+900＞4(x²-20x+106.25)

x²-20x+95＞0

(x-10)²＞5

x＞10+√5，或：x＜10-√5

因为：0≤x≤10，

所以：当0≤x＜10-√5时，y是单调减函数；

综上所述，有：

当x=10-√5（km）≈7.7639km时，y有极小值。

y极小=4(10-√5)+6√[(10-√5)²-20×(10-√5)+106.25]

=40-4√5+6√11.25

≈51.1803(万元)

答：当p点位于下游约7.7639km处时，所需费用最低。费用约是51.1803万元。