Question

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC， （1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由。

Answer 1

（1）证明：取AC的中点H，因为AB=BC，所以BH⊥AC， 因为AF=3FC，所以F为CH的中点， 因为E为BC的中点，所以EF∥BH，则EF⊥AC， 因为△BCD是正三角形，所以DE⊥BC， 因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE， 因为AB∩BC=B，所以DE⊥平面ABC， 所以 DE⊥AC， 因为 DE∩EF=E，所以AC⊥平面DEF。 （2） ； （3）存在这样的点N，当CN= 时，“MN∥平面DEF”， 连结CM，设CM∩DE=O，连OF， 由条件知，O为△BCD的重心，CO= CM， 所以 当CF= CN时，MN∥OF，所以 。