Question

一道八年级下几何数学题

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
当M点运动到什么位置时，RT△ABM∽RT△AMN，求此时BM的值

Answer 1

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
设BM=X.
要保证Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90°
所以，∠BAM=∠MAN
【不可能满足∠BMA=∠MAN——因为∠BMA=∠MAD＞∠MAN】
所以：AB/AM=BM/MN……………………………………………（1）
在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4
所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2

Answer 2

先证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
设BM=X.
要保证Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90°
所以，∠BAM=∠MAN
【不可能满足∠BMA=∠MAN——因为∠BMA=∠MAD＞∠MAN】
所以：AB/AM=BM/MN……………………………………………（1）
在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4
所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2