Question

如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两点,CE垂直于AB ,垂足为E，BD交CE于点F，CF=BF

1） 求证：C是弧BD的中点
2） 连接AD，若AD=3，圆O的半径为4，求BC的长

Answer 1

(1)连接OC，OD，设交点为H，则由CF=BF可知∠BCF=∠FBC，由OC=OB可知∠OCB=∠OBC，所以两个角分别减一下有
∠OCF=∠OBF，所以有∠CHF=90度，即OC⊥BD，由OD=OB，等腰三角形的性质可知HD=HB，∠DOC=∠BOC，所以C为弧BD中点。
(2)由余弦定理，OD=OA=4，可知cos∠DOA=23/32,由(1)知∠DOC=∠BOC，所以cos∠DOC=cos∠BOC=cos((pi-∠DOA)/2)=sin(∠DOA/2)=3/8，再次运用余弦定理，在三角形ODC中，根据OD=OC=4，cos∠DOC=3/8，可以算出第三遍CD=2*根号5

Answer 2

依题意， 三角形BEF∽三角形ABD
AD/EF=AB/BF
EF/BF=AD/AB=3/8
设EF=3X, 则BF=CF=8X CE=11X
BE²=BF²-EF²=55X² BE=根号55*X
BC²=CE²+BE²=(CF+EF)²+BE²
CF=BF
所以BC²=(BF+EF)²+BE²=BF²+2BF*EF+EF²+BE²
又EF²+BE²=BF²
所以BC²=BF²+2BF*EF+BF²=2BF²+2BF*EF
=2BF*(BF+EF)=2*BF*CE
=2*8X*11X=176X²
又三角形ABC∽三角形BCE
则BC²=BE*AB=8*根号55*X
因此： 176X²=8*根号55*X
X=1/22*根号55
BC=根号176*X=根号176*1/22*根号55
=2根号5