Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），P是直线A

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C，记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C，设点P的横坐标为a。（1）当b=3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D，当P′D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=-4，y=0代入得： -4k+3=0， ∴k= ， ∴直线的解析式是：y= x+3， ②由已知得点P的坐标是（1，m）， ∴m= ×1+3= ； （2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴ ，即 ， ∴a= ； （3）以下分三种情况讨论， ①当点P在第一象限时， 1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）过点P′作P′H⊥x轴于点H， ∴PP′=CH=AH=P′H= AC， ∴2a= （a+4） ∴a= ∵P′H=PC= AC，△ACP∽△AOB ∴ ， 即 ， ∴b=2； 2）若∠P′AC=90°，P′A=CA， 则PP′=AC， ∴2a=a+4， ∴a=4， ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB， ∴ ，即 =1， ∴b=4， 3）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾， ∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形， ②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形； ③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形， ∴所有满足条件的a，b的值为 或 。