Question

已知,如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB边上一点，

⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F。
1，求证AC是⊙O的切线
2，若GD=2，GB=4，求图中阴影部分的面积
（

）

Answer 1

①连接OE，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABD，∴∠OBE=∠EBD，
∴∠OEB=∠EBD，∴OE∥BD，
∵AB=BC，D为底边AC中点，∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线。
②∵DE是⊙O的切线，∴DE^2=DG*DB=12，
∴DE=2√3，
∴tan∠EBD=DE/BD=√3/3，
∴∠EBD=30°，∴∠ABD=60°，
AD/BD=tan∠ABD=√3，∴AD=6√3，AB=2BD=12，
∴AE=4√3，∴ED/DA=GD/DB=1/2，
连接EG，∴EG∥AB，
∴SΔEGB=SΔEGO，
连接OG，∠EOG=2∠EBD=60°，ΔOEG是等边三角形，
又EG/AB=DG/DB=1/3，∴EG=1/3AB=4，∴⊙O半径 为4，
∴S阴影=1/6S⊙=8π/3。