Question

关于分段函数的应用问题

某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年A型产品出产价为每件60元，年销售量为11.8万每件。第二年，当地政府开始对该产品征收税率为p％（0<p<100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出产价上升为每件8000/100-p元，预计年销售量将减少p万件。
（1）将第二年政府对该产品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p％的范围是多少？
（3）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

Answer 1

(Ⅰ) 解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8－p)万件，
年销售收入为 8000(11.8一 p)/(100-p)万元，
政府对该商品征收的税收 8(11.8一p)p％/(100-p)(万元)
故所求函数为y=8(11.8一p)p/(100-p)
由11.8－p>0及p>0得定义域为0<p<11.8

(Ⅱ) 解： 由y≥16得 8(11.8一p)p/(100-p)≥16
化简得p2－12p+20≤0，即(p－2)(p－10)≤0，解得2≤p≤l0
故当税率为[2％，10％]内时，税收不少于16万元．

(Ⅲ) 解：第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g(p)=800(11.8一p)/(100-p) (2≤p≤l0)
∵ g(p)=800(11.8一p)/(100-p)=600(10+882/(p-100))在[2,10]是减函数
∴ g(p)max =g(2)=600(万元)
故当比率为2％时，厂家销售金额最大。