Question

已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1 P是C上任意一点 O是坐标原点 F是右焦点

若双曲线满足 无论P点在右支何处 总有|OP|>|PF| 求双曲线C在一三象限的那条渐近线的倾斜角取值范围
过右焦点F的动直线L交双曲线于A、B两点 是否存在这样的a，b 使得△OAB是等边三角形 若存在 求出所有满足条件的a，b 若不存在 说明理由

Answer 1

问题1
总有|PO|>|PF|,即P总在OF中垂线的右边--->c＞2a
--->c²=a²+b²＞4a²--->b²＞3a²--->b²/a²＞3
tanα=b/a＞√3---->一三象限渐近线倾斜角α∈(π/3,π/2)
问题2
假设△OAB为等边三角形
∵|OA|=|OB|，由(1)--->xA²=xB²
又AB过F，即AB与x轴不平行--->xA=xB，即A、B关于x轴对称
--->∠AOF=30°--->A(√3y,y)
代入双曲线方程：3y²/a²-y²/b²=1--->3/a²-1/b²=1/y²＞0
-->3b²＞a²--->b/a＞√3/3即可
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