Question

一道很难的数列极限题-----急求!!

0<a(0)<b(0)<100,a(0)+b(0)<100

a(n+1)=100*a(n)/(a(n)+b(n));
b(n+1)=50+(b(n)-a(n))/2;

已经知道a(n),b(n)都有极限设为a,b,问是否可以用a(0),b(0)表达a,b
若可以,请证明并表示出来,若不是,请说明为什么.

参考图:
http://img.photo.163.com/gubIWXfuQikvfk8t2-JThQ==/1863082870847989564.jpg
当然知道a+b=100,解极限方程没什么意义..

而且a+b=100与a(n)+b(n)<100不矛盾.

很急..

Answer 1

解：有0<a0<b0<100;a0+b0<100
所以2a0<a0+b0<100
即a0<50
又Lim（an）=a；Lim（bn）=b
an+1=100×an/（an+bn）
bn+1=50+(bn-an)/2
所以对两式两边分别取极限。
可得：Liman+1=100×Lim(an)/（Liman+Limbn）
Limbn+1=50+(Limbn-Liman)/2
故有 a=100a/(a+b)------a+b=100
b=50+(b-a)/2-----a+b=100
所以a+b=100
由于数列具有极限，所以可知数列单减
因为单增会使数列无极限。可参见教材中的知识。
所以有Liman=a0
Limbn=b0
既a=a0；b=b0
所以a+b=a0+b0=100
而这与题意的a0+b0<100不符。

不足的地方还请见谅！！！

Answer 2

b(n+1)-a(n+1)=50+(b(n)-a(n))/2-100*a(n)/(a(n)+b(n))
=(b(n)-a(n))/2+100*[1/2-a(n)/(a(n)+b(n))]
=(b(n)-a(n))/2+100*0.5*(b(n)-a(n))/(a(n)+b(n))
=1/2*(b(n)-a(n))*[1+100/(a(n)+b(n))]

我们得到[b(n+1)-a(n+1)]/[b(n)-a(n)]=1/2+50/(a(n)+b(n))
采用连乘的方式可得，这里打不出连乘符号，没办法，
b(n)-a(n)=(b(0)-a(0))*(0.5+50/(a(0)+b(0)))*……*(0.5+50/(a(n-1)+b(n-1)))

把上式右边的连乘项记为c(n),则b(n)-a(n)=(b(0)-a(0))*c(n)
因为a,b是存在的，所以c(n)的极限c也是存在的。
0<a0<b0<100;a0+b0<100
所以2a0<a0+b0<100
即a0<50
又Lim（an）=a；Lim（bn）=b
an+1=100×an/（an+bn）
bn+1=50+(bn-an)/2
所以对两式两边分别取极限。
可得：Liman+1=100×Lim(an)/（Liman+Limbn）
Limbn+1=50+(Limbn-Liman)/2
故有 a=100a/(a+b)------a+b=100
b=50+(b-a)/2-----a+b=100
所以a+b=100
由于数列具有极限，所以可知数列单减
因为单增会使数列无极限。可参见教材中的知识。
所以有Liman=a0
Limbn=b0
既a=a0；b=b0
所以a+b=a0+b0=100

Answer 3

：有0<a0<b0<100;a0+b0<100
所以2a0<a0+b0<100
即a0<50
又Lim（an）=a；Lim（bn）=b
an+1=100×an/（an+bn）
bn+1=50+(bn-an)/2
所以对两式两边分别取极限。
可得：Liman+1=100×Lim(an)/（Liman+Limbn）
Limbn+1=50+(Limbn-Liman)/2
故有 a=100a/(a+b)------a+b=100
b=50+(b-a)/2-----a+b=100
所以a+b=100
由于数列具有极限，所以可知数列单减
因为单增会使数列无极限。可参见教材中的知识。
所以有Liman=a0
Limbn=b0
既a=a0；b=b0
所以a+b=a0+b0=100
而这与题意的a0+b0<100不符。

Answer 4

我也没能证明，只能提供一个思路，希望对你有帮助。

不赞同二楼的说法。用归纳法可以很容易的证明a(n),b(n)是单调增加的，但这对证明没有帮助。5楼6楼的人该去看教材了，单增不会使数列无极限，只会使级数无极限。

很多人都能看出a+b=100。
那么来看看b-a是多少。
b(n+1)-a(n+1)=50+(b(n)-a(n))/2-100*a(n)/(a(n)+b(n))
=(b(n)-a(n))/2+100*[1/2-a(n)/(a(n)+b(n))]
=(b(n)-a(n))/2+100*0.5*(b(n)-a(n))/(a(n)+b(n))
=1/2*(b(n)-a(n))*[1+100/(a(n)+b(n))]

我们得到[b(n+1)-a(n+1)]/[b(n)-a(n)]=1/2+50/(a(n)+b(n))
采用连乘的方式可得，这里打不出连乘符号，没办法，
b(n)-a(n)=(b(0)-a(0))*(0.5+50/(a(0)+b(0)))*……*(0.5+50/(a(n-1)+b(n-1)))

把上式右边的连乘项记为c(n),则b(n)-a(n)=(b(0)-a(0))*c(n)
因为a,b是存在的，所以c(n)的极限c也是存在的。

如果能够得到c的值，那么就能够把a，b用a(0)，b(0)表示。这就是我的思路。

Answer 5

首先，根据定理，对a=100a/(a+b),求出极限，然后同理求出b=50+(b-a)/2的极限！根据结果得知单调性！从我的演算过程中得出的结论是，可以用ab表示。单调性一致