Question

求证：1+1/2^(3/2)+1/3^(3/2)+......+1/n^(3/2)<3

Answer 1

证明如下（需要高等数学知识）：
令f（x）= 1 /√(x^3)，则原不等式等价于
Σf（n）< 2 (n>1，且n∈Z)
由定积分中值定理（本质上即为拉格朗日中值定理）有，存在一个数a ∈ （n-1，n）满足：
f（a）= ∫ [n-1,n] f（x）dx，
显然f（a）> f（n），
即有∫ [n-1,n] f（x）dx > f（n），
故有：
Σf（n）< Σ ∫ [n-1,n] f（x）dx （n>1，且n∈Z）
= ∫ [1，n] f（x）dx
<∫ [1，+∞] f（x）dx
=-2/√x |(x=+∞) + 2/√x |(x=1)
=2
即Σf（n）< 2 (n>1，且n∈Z)
故原不等式成立