Question

已知函数f(x)=cosπx/(x*2+1)(x*2-4x+5),x∈R，证明函数f（x）的最大值和最小值

Answer 1

f（x）＝cosπx/[(x²＋1)(x²－4x＋5)]
分母会随|x|的增大，无限增大，
当|x|-->∞时，f(x）-->0
∴ f(x)不是周期函数

2
f（x)=cosπx/{(x²+1)[(x-2)²+1]}
f(2-x)=cos(2π-πx)/{[(2-x)²+1](x²+1)}=f(x)
∴f(x)图像关于x=1的对称
而且(x²+1)[(x-2)²+1]
=x²(x-2)²+x²+(x-2)²+1
≥x²(x-2)²+2x(2-x)+1=(x+2-x)²=4
当x=2-x,x=1时，取等号
即当x=1时，f(x)分母取得最小值4，
而当x=1时，分子cosπx取得最小值-1，
∴x=1时，f(x)取得最小值 -1/4
当x=0,或x=2时，f(x)分子cosπx=1最大为1
此时，f(x)取得最大值，
以后当|x|-->+∞时，分母无限增大，f(x)无限减小
∴f(x)既有最大值又有最小值

Answer 2

已知函数f(x)=cosπx/(x*2+1)(x*2-4x+5),x∈R，求函数f（x）的最大值和最小值