Question

证明循环群的子群也是循环群

Answer 1

http://210.76.200.32/fancycourseware/math/kcxx/11/kcxx11-07.htm
这个网页上有，亲自己看吧，有些符号复制不过来的

Answer 2

G是循环群,则一定存在生成元a, G = (a)
设H是其子群,
（1）若H={e}={a0},e是H的生成元
（2）若H ≠{e} 则H={a^n1, a^n2 , a^n3 , …}
令i0=min{ni| a^ni∈H, ni>0} (只要证明H=(a^i0))
对于任意a^i∈H, i>i0
则 i=k*i0+r，0≤r < i0,（由于封闭性 k一定属于N）
a^i=a^(k*i0+r)=a^(k*i0)*ar
a^r = a^(-k*i0)*a^i 由封闭性可知a^r∈H
因为0≤r<i0且 i0是最小正指数，所以r=0
ai=a^(k*i0) =(a^i0)^k 所以H=(a^i0)

Answer 3

......
用反证法