Question

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1处都区得极值（1）求a、b值与f(x)单调区间

（2）若对x∈[-1,2]不等式f（x)-c^2＜0恒成立，求c的取值范围

Answer 1

解：
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
f(x)在x=-2/3,x=1取得极值
∴f(-2/3)=4/3-4/3a+b=0
f(1)=3+2a+b=0
∴a=-1/2,b=-2
∴f'(x)=3x^2-x-2
当-3/2<=x<=1时，f'(x)<0,
当x<-3/2,x>1时，f'(x)>0
∴f(x)的减区间为：[-3/2,1]
增区间：(-无穷，-3/2)和(1,+无穷）

由(1)中
f(x)=x^3-1/2x^2-2x+c
当x=1时，f(x)取得极小值，f(1)=1-1/2-2+c=-3/2+c
又f(-1)=-1-1/2+2+c=1/2+c
f(2)=8-2-4+c=2+c
∵f(x)-c^2<0在[-1,2]上恒成立
∴f(x)<c^2在[-1,2]上恒成立
只要f(x)的最大值小于c^2在[-1,2]恒成立即可
而f(x)在[-1,2]的最大值为：f(2)=2+c
∴2+c<c^2
∴c<-1,c>2