Question

高中数学题，若0＜x＜1/2.则函数y＝x（1-2x）的最大值为

要用均值不等式来做，写清楚点，拜托

Answer 1

∵0＜x＜1/2
∴0<2x<1
∴0<1-2x<1
∴(2x)(1-2x)≤[(2x+1-2x)/2]²=1/4 【均值定理变式：ab≤[(a+b)/2]²】
当且仅当2x=1-2x,x=1/4时，取等号
∴x(1-2x)≤1/8
即x=1/4时函数y取得最大值1/8

追问

为什么不可以把a=x，b=（1-2x）来做呢？就直接求x(1-2x)的最大值了。但是这样算出来是1/9.错在哪里？

追答

用均值定理求最值的条件
1）正
2）定：求和最值要求乘积为常数，本题求乘积最值要求和为定值，
a=x,b=1-2x,a+b=1-x变量不可以的
x(1-2x)≤(1-x)²/4,两边都是变量，取等号的时候不一定就是最大值
一会给你画个图
3）能等，即等号必须能够取到

Answer 2

解：设y'=2x(1-2x)
∵0＜x＜½
∴1-2x>0
∵x＞0 1-2x>o
∴根据基本不等式
有y'≤（2x+1-2x)^2)/4=1/4
当且仅当2x=1-2x 即x=1/4时 取“=”
又因为y'=2y
∴y最大值为1/8
望采纳。

追问

为什么不可以把a=x，b=（1-2x）来做呢？就直接求x(1-2x)的最大值了（不是在基本不等式中a=b时ab就会取得最大值吗？）。但是这样算出来是1/9.错在哪里？

追答

运用这种基本不等式要满足相乘因数的和是一定值，但你这里只有一个x 无法凑成定值，因此要乘以2来凑啊。

Answer 3

x(1-2x)=2x(1-2x)/2<={[(2x+1-2x)/2]^2}/2=1/8所以最大值为1/8

Answer 4

可以用基本不等式么?如果可以用的话,那么x(1-2x)=2x(1/2-x)<=2[(x加1/2-x)/2]^2=1/8,当且仅当x=1/2-x时,即x=1/4时,最大值为1/8

Answer 5

y=-2x²+x=-2(x²-x/2+1/16)+1/8=-2(x-1/4)²+1/8
所以当x=1/4的时候，y的最大值是1/8.