Question

（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G． （1

（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：
DE
CF
＝
AD
CD
；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
DE
CF
＝
AD
CD
成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出
DE
CF
的值q
只求第三问，详解

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴
DE/CF=AD/CD；

（2）当∠B+∠EGC=180°时，
DE/CF=AD/CD成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴DE/AD=DF/DG，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴DF/DG=CF/CD，
∴DE/AD=CF/CD，
∴DE/CF=AD/CD，
即当∠B+∠EGC=180°时，
DE/CF=AD/CD成立．

（3）解：
DE/CF=25/24．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中

AD＝CD
AB＝BC
BD＝BD

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴CM/CN=BC/CD，
∴CM/x=6/8，
∴CM=3/4x，
在Rt△CMB中，CM=3/4x，BM=AM-AB=x-6，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，
∴（x-6）2+（3/4x）2=62，
x=0（舍去），x=192/25，
CN=192/25，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴
DE/CF=AD/CN=（8/192）/ 25=25/24

追问

我记得有一种做法是这样做图的

追答

记得采纳哦亲~(*¯︶¯*)