Question

函数题，可以只写第一问（高手可以写下第二问）

Answer 1

已知x=a，x=b，是函数f(x)=lnx+1/2x^2-(m+2)x(m∈R)的二个极值点，若b/a>=4.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求f(b)-f(a)的最大值。
(1)解析：∵函数f(x)=lnx+1/2x^2-(m+2)x(m∈R)，定义域为x>0
令f'(x)=1/x+x-m-2=[x^2-(m+2)x+1]/x=0，
∴x1=a，x2=b是f'(x)=0的两个根，
即a,b是方程x^2-(m+2)x+1=0的两个正根。
∴⊿=(m+2)^2-4>0==>m<-4或m>0，
由韦达定理a+b=m+2>0
ab=1
又b/a>=4==>b>=4a==>1/a>=4a==>a^2<=1/4
∴a∈(0,1/2]
∴m=a+b-2=a+1/a-2
设m=m(a)=a+1/a-2（a∈(0,1/2])，
m(a)在(0,1/2]上是减函数，
∴m>=m(1/2)=1/2
∴m的取值范围是[1/2,+∞)
(2)解析：由题意知b>a
f(b)-f(a)=lnb+b^2/2-(m+2)b-[lna+a^2/2-(m+2)b]
=lnb-lna+(b^2-a^2)/2-(m+2)(b-a)
=ln(b/a)+(b-a)[(b+a)/2-(m+2)]
由(1)知a+b=m+2，ab=1
∴f(b)-f(a)=ln(b/a)-(b-a)(m+2)/2则：(b-a)^2=(a+b)^2-4ab=(m+2)^2-4
令b/a=t，则：t-1/t=b/a-a/b=(b^2-a^2)/(ab)=(m+2)(b-a)
∴f(b)-f(a)=ln(t)-(t-1/t)/2
令g(t)=ln(t)-(t-1/t)/2，t>=4
g'(t)=1/t-1/2-1/(2t^2)=(2t-t^2-1)/(2t^2)=-(t-1)^2/(2t^2)<0
∴g(t)在定义域上为减函数
则最大值为g(4)=ln4-(4-1/4)/2=ln4-2+1/8
即f(b)-f(a)的最大值为ln4-15/8