Question

常微分方程证明题

Answer 1

用反证法, 假设y1(x), y2(x)是该方程的基本解组, 则通解为y(x) = A·y1(x)+B·y2(x).
由y1(x), y2(x)均在x0处取极值, 有y1'(x0) = y2'(x0) = 0, 于是y'(x0) = A·y1'(x0)+B·y2'(x0) = 0.
即方程的任意解在x0处的导数均为0.
然而由p(x), q(x)连续, 初值问题y(x0) = 0, y'(x0) = 1有解, 矛盾.

追问

然而由p(x), q(x)连续, 初值问题y(x0) = 0, y'(x0) = 1有解, 矛盾. 看不懂，能说的详细点吗？

追答

已证方程的通解都满足y'(x0) = 0, 但是又能证明存在使y'(x0) = 1的解, 所以矛盾.

仔细说的话这个解的存在性可以由Peano存在性定理证明.
首先将方程等价的转化为方程组: z' = -p(x)z-q(x)y, y' = z.
由p(x), q(x)连续, 该方程组满足Peano存在性定理(2维版本)的条件.
因此对任意a, b, 存在满足z(x0) = a, y(x0) = b的解.
不妨取a = 1, 即得存在满足y'(x0) = z(x0) = 1的解.

注: 其实上述方程组还满足局部Lipschitz条件, 因此解还是唯一的.
一般的, 若n阶线性微分方程(n阶项系数为1)的各项系数连续, 则初值问题的解存在唯一.