Question

如图,在梯形ABCD中,AD平行BC,∠A=∠B=90°,∠C=45°,AD=8,BC=16,E为BC上一点，且BE=6.动点P从点A出发沿AD

接上：方向以每秒1个单位长的速度向点D匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位长的速度向点B运动，设动点P、Q运动的时间为 t 秒，△PQE的面积为 S 。
（1）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围
（2）当 t 为何值时，以点P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？
（3）在P、Q两点运动的过程中，以点P、Q、D、E为顶点的四边形是否能构成菱形？为什么？

Answer 1

1、过点D做DG⊥BC于G
∠A=∠B=90°
则DG=AB；AD=BG；
又∠C=45°
故AB=DG=BC-BG=BC-AD=8
EC=BC-BE=10,
由AD=8,BC=16得
0≤t≤8
Q和E点重合时t=10/2=5
S=1/2*AB*QE=4*(EC-2t)=40-8t(0≤t≤5)
S=1/2*AB*QE=4*(2t-EC)=8t-40(5<t≤8)
2、PQDE为平行四边形的充分必要条件为：
DP=EC,DP∥EC
即8-t=10-2t(0≤t≤5)；
8-t=2t-10(5<t≤8)；
解得：t=2;t=6;
即t为2和6时以点P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形。

3、不能构成菱形
原因如下：梯形ABCD为直角梯形，直角边为AB，
P、Q分别在AD、BC上，
故PQ≥AB=8
DP≤AB=AD=8永远成立，
故DP≤PQ
即故四边形PQDE的临边不可能相等,
则以点P、Q、D、E为顶点的四边形不能构成菱形。

证明完毕。

Answer 2

(1)由已知条件可知AB=8，CE=10

CQ=2t

QE=│CE-CQ│=│10-2t│

①t≤5时：

S=AB·QE/2=40-8t

②5≤t≤8时：

S=8t-40

(2)

①

PD=8-t

EQ=10-2t

PDQE为平行四边形时，PD=EQ

t=2

②

QE=2t-10

PDEQ为平行四边形时，PD=QE

t=6

即当①t=2和②t=6时，点P、Q、D、E构成平行四边形

(3)点P、Q、D、E不能构成菱形

∵四点构成平行四边形只有两次机会，而这两个平行四边形都不是菱形