Question

如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D

如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD?DE的值．

Answer 1

（1）∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP…（2分）
∴

AC

AB

＝

AP

PB

＝2∴AC=2AB…（4分）
（2）由切割线定理得：PA²=PB?PC∴PC=20
又PB=5∴BC=15…（6分）
又∵AD是∠BAC的平分线∴

AC

AB

＝

CD

DB

＝2
∴CD=2DB∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD?DE=CD?DB=50…（10分）

Answer 2

（1）∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP…（2分）
∴

AC

AB

＝

AP

PB

＝2∴AC=2AB…（4分）
（2）由切割线定理得：PA²=PB?PC∴PC=20
又PB=5∴BC=15…（6分）
又∵AD是∠BAC的平分线∴

AC

AB

＝

CD

DB

＝2
∴CD=2DB∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD?DE=CD?DB=50…（10分）