Question

已知数列{a n }为公差大于0的等差数列，S n 为其前n项和，且a 1 a 6 =21，S 6 =66．（1）求数列{a n }的

已知数列{a n }为公差大于0的等差数列，S n 为其前n项和，且a 1 a 6 =21，S 6 =66．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足 b n = x a n+3 ，求{b n }的前n项和T n ；（3）若数列{c n }是等差数列，且c n = S n n+p ，求常数p．

Answer 1

（1）∵S 6 =66= 6( a 1 + a 6 ) 2 ，∴a 1 +a 6 =22．再由a 1 a 6 =21 可得 a 1 和a 6 是方程 x 2 -22x+21=0的两个根，再由公差大于0可得 a 1 =1，a 6 =21， 由于a 6 =21=a 1 +5d，故公差d=4，故 a n =4n-3． （2） b n = x a n+3 =x 4n+9 ， 当x=0时， b n = x a n+3 =0，{b n }的前n项和 T n =0． 当x=1时， b n = x a n+3 =1，{b n }的前n项和 T n =n． 当x=-1时， b n = x a n+3 =-1，{b n }的前n项和T n =-n． 当x≠0 且x≠±1时， b n = x 4n+9 ，{b n }的前n项和 T n = x 13 (1- x 4n ) 1- x 4 ． 综合可得，{b n }的前n项和 T n = 0，x=0 n，x=1 -n，x=-1 x 13 (1- x 4n ) 1- x 4 ，x≠±1且x≠0 ． （3）∵S n =n×1+ n(n-1) 2 ×4 =2n 2 -n，∴c n = S n n+p = 2 n 2 -n n+p ．  ∵{c n }是等差数列，∴c 1 +c 3 =2c 2 ，即 1 1+p + 15 3+p =2× 6 2+p ， 由此解得 p=0，或 p=- 1 2 ．