Question

在数列an中a1=1，an+1=3an+2∧n+3n²–1，求an的通项公式

Answer 1

解题的思路就是将未知的数列变换成等差和等比数列.
首先约去n^2项,它在数列表达式里属于不好规划的项.
　　a(n+1)=3a(n)+2^n+3n²–1

　　a(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1)+3(n+1)²–1
我们定义数列{b(n)},令b(n)=a(n+1)-a(n),上面2等式相减,
得到 b(n+1)=3b(n)+2^n+6n+3, b(1)=6.

构造一个等比数列,假设
b(n+1)+k*2^(n+1)+p(n+1)+q=3[b(n)+k*2^n+pn+q].
则有
3k*2^n-k*2^(n+1)=2^n
3[pn+q]-[p(n+1)+q]=6n+3
所以 k=1, p=3, q=3.
故 b(n+1)+2^(n+1)+3(n+1)+3=3[b(n)+2^n+3n+3].
则根据等比数列通项定义,有
b(n)+2^n+3n+3=14*3^(n-1).

即 b(n)=14*3^(n-1)-2^n-3n-3.
由于 b(n)=a(n+1)-a(n)=14*3^(n-1)-2^n-3n-3.
而 a(n+1)=3a(n)+2∧n+3n²–1 带入上式,约去a(n+1),
就可以得到 a(n)=7*3^(n-1)-2^n-3/2*n-3/2*n^2-1.

(PS:好像算的很麻烦...)

Answer 2

a(n+1)=3an+2ⁿ+3n²-1
a(n+1)+2^(n+1)+(3/2)(n+1)² +(3/2)(n+1)+1=3an+3×2ⁿ+(9/2)n²+(9/2)n+3
[a(n+1)+2^(n+1)+(3/2)(n+1)² +(3/2)(n+1)+1]/[an+2ⁿ+(3/2)n²+(3/2)n+1]=3，为定值。
a1+2+ 3/2 +3/2 +1=1+2 +3/2 +3/2 +1=7
数列{an+2ⁿ+(3/2)n²+(3/2)n+1}是以7为首项，3为公比的等比数列。
an+2ⁿ+(3/2)n²+(3/2)n+1=7×3^(n-1)
an=7×3^(n-1) -2ⁿ -(3/2)n² -(3/2)n-1

Answer 3

这道题很easy啊， 可以构造一个新的数列bn，然后间接吧an求出来

追问

站着说话不腰疼啊