Question

已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|,求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集

Answer 1

解：
已知：f(x)=|x-2|-|x-5|，
当f(x)≥x²-8x+15时，有：
|x-2|-|x-5|≥x²-8x+15
1、当x≥5时：
x-2-(x-5)≥x²-8x+15
3≥x²-8x+15
x²-8x+12≤0
(x-2)(x-6)≤0
有：x-2≥0、x-6≤0
解得：2≤x≤6
考虑到x≥5，解集为x∈[5，6]

2、当x≤2时：
2-x-(5-x)≥x²-8x+15
-3≥x²-8x+15
x²-8x+18≤0
(x-4)²-16+18≤0
(x-4)²≤-2
此时，不等式无解。

3、当2＜x＜5时：
x-2-(5-x)≥x²-8x+15
2x-7≥x²-8x+15
x²-10x+22≤0
(x-5)²-25+22≤0
(x-5)²≤3
5-√3≤x≤5+√3
考虑2＜x＜5，解集为x∈[5-√3，5)

综合以上，所给不等式的解集为：x∈[5-√3，6]

Answer 2

(2)解析：
(x<2), f(x)=-3==> x^2-8x+15<=-3==> x^2-8x+18<=0
∵⊿=64-72=-8<0
∴无实解
(2<=x<5), f(x)=2x-7>= x^2-8x+15==> x^2-10x+22<=0==>5-√3<=x<=5+√3
∴5-√3<=x<5
(x>=5),f(x)=3>= x^2-8x+15==> x^2-8x+12<=0==>2<=x<=6
∴5<=x<=6
综上：不等式f(x)>=x^2-8x+15的解集为5-√3<=x<=6