对于有理数x, 用[x]表示不大于x的最大整数,试求方程[3x+1]=2x-1/2所有解之和 大感谢.
我们可以让两边分别变成y对x的函数，也就是设y1=[3x+1],y2=2x-1/2，当相同的x使y1=y2时，这个x值就是我们要的等式的解。
下面有具体思路的说明，可能比较多，但是如果能够耐心看完，相信你就可以举一反三了。
我做了一个简图：
其中蓝色的线是y1=[3x+1]，(绿线是y1'=3x+1，用来做比较)，橘色的线是y2=2x-1/2，黑圈为橘色线上的点（这几个点都是y取整数时的点)
通过观察图像可以发现：
y1‘=3x+1的绿色线与 y1=[3x+1]蓝色线段的每一段第一个点重合，而重合的点正是y为整数的时候；
y1=[3x+1]蓝色线段有周期性，我们只要知道这个周期长度（即线段的长度），就可以推断线段是否与斜线y2=2x-1/2交叉；我们可以随便找两个相邻整数，找到他们对应的x值后做差，例如3x+1=-1时，x=-2/3；3x+1=0时，x=-1/3，所以每一条线段的长度为1/3;
我们目前还没有确定从哪几个整数开始，不过因为y1'=3x+1和y2=2x-1/2的斜率相近，所以y1=[3x+1]与y2=2x-1/2的交点应该在y1’=3x+1和y2=2x-1/2交点的附近。因此我们可以先求出y1’=3x+1和y2=2x-1/2的交点，然后再从它附近找；
做题开始：
先求出y1’=3x+1和y2=2x-1/2的交点：3x+1=2x-1/2 → x=-3/2
此时的y=[3x+1]=-7/2，所以我们从[-7/2]=-4开始：
①当y=-4时，线段的起止点为：3x+1=-4 →x=-5/3 和 x=-5/3+1/3=-4/3 (前面说过1/3为线段长度)
，那么在这个线段的范围内(-5/3≥x>-4/3)如果y2=-4，那么就满足了[3x+1]=2x-1/2，所以我们来验证一下：2x-1/2=-4 → x=-7/4，不在-5/3≥x>-4/3范围内，且要比-5/3还要小，所以说明能够使题目成立的点一定在这条y=-4的线段上面，当y比-4更小的时候是不会有交点的；
②同理，当y=-3时，线段起止点为(-4/3≥x>-1)，而2x-1/2=-3解得x=-5/4，符合条件且在线段起止点之间，也就是说线段和斜线有交点，也就是此时的[3x+1]=2x-1/2；
③同理，当y=-2时，线段起止点为(-1≥x>-2/3)，而2x-1/2=-2解得x=-3/4，符合；
③同理，当y=-1时，线段起止点为(-2/3≥x>-1/3)，而2x-1/2=-1解得x=-1/4，不在-2/3≥x>-1/3范围内，且要比-1/3还要大，所以说明能够使题目成立的点一定在这条y=-1的线段下面，当y比-1更大的时候是不会有交点的。
综上所述，x的解为：-5/4和-3/4
仅供参考^_^
