Question

证明：设n是大于1的自然数,1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数.

Answer 1

证明1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数即可。

1/2+1/3+1/4+…+1/n =
[3*4*...*n+2*4*...*n+2*3*...*n+...+2*3*...*(n-1)]/2*3*....*n
记a=[3*4*...*n+2*4*...*n+2*3*...*n+...+2*3*...*(n-1)]
b=2*3*....*n
命题相当于证明a不包含有因子b。
记2到n的整数中，最大的素数为p.(p总是存在的)
现证明a不包含有因子p，
a=[3*4*...*n+2*4*...*n+2*3*...*n+...+2*3*...*(n-1)]
= p[3*4*...*(p-1)*(p+1)...*n) + .....] + 2*3*4*...*(p-1)*(p+1)...*n 即a分成两部分，一部分包含p因子，这部分有n-1项，另一部分不包含p因此，这部分只有一项。
因为第一部分是p的倍数，第二部分不是,证明如下：
如果第二部分是p的倍数，则必然有2p<=n,但是根据Bertrand假说(证明的可以看wiki:phttp://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate),对于任意p,必然存在素数p1,使得p<p1<=2*p成立。这和p是最大的素数矛盾。
所以p|a不成立.
即a不包含有因子p,自然也不包含有因子b.

证明完毕.