Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,CD⊥AD,AD²+CD²=2AB².

(1)求证：AB=BC;
(2)当BE⊥AD于点E时，求证：BE=AE+CD.

Answer 1

 

(1)  ∵ AB² +BC² =AC² =AD² +CD² = 2AB²           

       ∴ AB² +BC² =AB² +AB²

       ∴ AB=BC

(2)   如图所示从点B作垂直于DC直线交于F则有

           BE=DF

          ∠1+∠2+∠3=90º=∠4+∠5  -------①

      ∵∠5+∠6+∠7 =180º     ∠6=∠2=45º

         ∠7=90º-∠3

      ∴ ∠5+∠6+90º -∠3=180º  

      ∴∠5=90º+∠3-∠6

                =45º+∠3   代入式①

         ∠1+45+∠3=90º=∠4+∠45º+∠3

      ∴ ∠1=∠4

        又 ∵AB=BC

       ∴ΔABE≌ΔCBF

       ∴AE=CF=DF-CD=BE-CD

       ∴BE=AE+CD

Answer 2

1）AD^2+CD^2=AC^2=AB^2+BC^2=2AB^2，所以AB^2=BC^2，所以AB=BC
2)从C作BE垂线，垂足为F，则CDEF为矩形，三角形CBF、BEA全等。因此可知BE=CD+AE