Question

已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且limx->0f(x)/1-cosx=2,则在x=0处f(x)？

已知fx在x=0的某邻域内连续，且limx->0f(x)/1-cosx=2，则在x=0处f(x)？为啥取得极小值？

这是选择题，A不可导，B可导，且f'(x)不等于0 ，C，取得极大值 D，取得极小值 答案是D

Answer 1

首先 有f(0) = 0; 等价无穷小 1-cosx ~1/2x2
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;
lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;
显然因为 f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0处有极小值！
纯手打，有bug的地方请提出，水平有限有误地方请见谅 谢谢！

Answer 2

看了一下他们的答案，决定不太行

Answer 3

证明：由(x→0)limg(x)/x=-1 （极限为-1,分母趋于0,则分子必趋于0）
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0
于是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1
则g(x)在该邻域内可导且g'(0)=-1
(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因为(x→0)limg²(x)=0
则(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
对(x→0)limf(x)/g²(x)=2进行变形
(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) （变成两个极限之积,并对右边的极限用洛必达法则）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)
=2
因此f(x)=2x²+o(x)
于是可以得到(x→0)limf(x)/x=0
即f'(0)=0

Answer 4

前面所有用洛必达的也真是不怕误人子弟啊。。这题考的是定义啊，偏偏正确答案放在了最下面。
连续却未告知可导，洛洛洛，泰勒都要哭了诶。下面答案中有用定义做的建议提到推荐答案，答案中1-cosx用了泰勒展开近似1/2x^2+o（x^2）

Answer 5

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问