Question

为什么cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）

Answer 1

这个是三角函数中的和角公式之一：和角余弦公式。

证明如下：

以坐标原点为圆心，做半径为1的圆，并以两个任意α、β角做图如下：

很容易可证明：ΔQAO≌ΔPRO

即可得到：|QA|=|PR|

根据上图，可以很方便地得到A、Q、P、R四点坐标分别为：

A（1，0）

Q（cos(α+β)，sin(α+β)）

P（cosα，sinα）

R（cos(-β)，sin(-β)）

利用两点坐标求距离的方法，可得：

|QA|²=[cos(α+β)-1]²+[sin(α+β)-0]²

|PR|²=[cosα-cos(-β)]²+[sinα-sin(-β)]²

因为|QA|=|PR|，所以有：

[cos(α+β)-1]²+[sin(α+β)-0]²=[cosα-cos(-β)]²+[sinα-sin(-β)]²

两边分别整理，可得：

2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

即：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ