Question

如图,点P是等边三角形ABC内一点,点P到三边的距离分别为PE,PF,PG,等边三角形ABC的高为AD,求证:PE+PF+PG=AD

如图,点P是等边三角形ABC内一点,点P到三边的距离分别为PE,PF,PG,等边三角形ABC的高为AD,求证:PE+PF+PG=AD

Answer 1

证明：连接PA、PB、PC
∵等边△ABC
∴AB＝AC＝BC
∵AD⊥BC
∴S△ABC＝BC*AD/2
∵PE⊥AB
∴S△ABP＝AB*PE/2
∵PF⊥AC
∴S△ACP＝AC*PF/2
∵PG⊥BC
∴S△BCP＝BC*PG/2
∵S△ABP+ S△ACP+ S△BCP＝S△ABC
∴AB*PE/2+ AC*PF/2+ BC*PG/2＝BC*AD/2
∴PE+PF+PG=AD

Answer 2

可以采用等面积法证明：
连结AP，BP，CP，则等边三角形ABC由三个小三角形组成
设等边三角形的边长是a,高为AD,面积是S，
S=a*AD/2=a*PG/2+a*PE/2+a*PF/2=a(PG+PE+PF)/2
∴PE+PF+PG=AD
很高兴为你答题，希望能帮助到你。

Answer 3

证明：连接AP,BP,CP
等边三角形ABC
AB=BC=AC
S三角形APB=1/2AB*PE
S三角形BPC=1/2BC*PG
S三角形APC=1/2AC*PF
S三角形ABC=1/2BC*AD
S三角形ABC=S三角形APB+S三角形BPC+S三角形APC
1/2BC*AD=1/2AB*PE+1/2AC*PF+1/2BC*PG
因AB=BC=AC
1/2BC*AD=1/2BC(PE+PF+PG)
AD=PE+PF+PG