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根据微分方程特性,可通过求特征方程的解来求微分方程的通解。
微分方程y″-y′-2y=0的特征方程为r^2-r-2=0,
可求得,r1=2,r2=-1。
而r1≠r2。
那么微分方程y″-y′-2y=0的通解为,
y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x)+C(其中C1、C2与C为任意实数)。
扩展资料:
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
微分方程y"-2y'+y=0的特征方程为:t²-2t+1=0,t=1。所以通解为y=Ce^x。
求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。
微分方程的用途:
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。
所以通解为y=(C1x+C2)e^(-x)
r=-1
以y=(a+bx)e(-x)
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