Question

已知p，q是有理数，x=[(根号5）+1]/2满足x^3-px+q=0，求p-q的值.

Answer 1

已知x=[(根号5）+1]/2，那么：
x²=[(根号5）+1]²/4=(3+根号5)/2
1/x=2/(根号5 +1)=(根号5 -1)/2
而等式x³-px+q=0可化为：
x³+q=px
上式两边同除以x可得：
x²+ (q/x)=p
那么：(3+根号5)/2 + q(根号5 -1)/2=p
3-q +(1+q)*根号5=2p
即(1+q)*根号5=2p+q-3
已知p，q是有理数，那么：1+q与2p+q-3都是有理数
而根号5是无理数
所以要使等式(1+q)*根号5=2p+q-3成立，须使得：
1+q=0且2p+q-3=0
解得：q=-1
那么：2p-1-3=0
解得：p=2
所以：p-q=2-(-1)=3