
如何理解极限定义
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一、楼主应该是还没有理解极限证明的本质究竟是什么,这无可非议。
大学教师、教授,教微积分一辈子,穿凿附会一辈子,比比皆是。
大学教材,绝大多数都是垃圾教材,学生不被误导实在太难太难。
.
二、楼主的题图上的 a 是数列的极限,是指 x₁、x₂、x₃、x₄、、、、
越来越趋向于 a,无止境地趋向于 a,跟 a 的差值,越来越趋于 0。
.
三、关于极限证明的方法,用最通俗的话解答如下,楼主如有任何疑问,
欢迎追问,有问必答,有疑必释,直到满意。
.
总体来说:
极限的证明过程,就是
一个吵架的过程;
一个理性争辩、逻辑辩论的过程;
一个穷举法的精简过程。
.
下面以最通俗的语言,讲解一下证明的逻辑过程:
.
1、我说:Xn的极限就是a,可是你不信。
2、你说:Xn与 a 有差值啊。
3、我问你:差值多少你能接受?你给出一个很小的数吧。
.
你给出了一个很小很小的数,譬如0.0000123。
我计算了一下,我说当N大于100时(比方),两者之差就小于0.0000123了。
.
你不服,又给出一个更小的数,譬如0.0000000000456。
我又计算了一下,我说当N大于1000时(也是比方),两者之差就小于0.0000000000456了。
.
你依旧不服,你又给了更小更小的数,我又算;
你再给,我再算;
你再再给,我再再算;
、、、、、、
我说,算了吧,你给一个象征性的很小很小的数的代号,
我算一个用你的代号表示的公式给你,你自己计算,自己验证吧。
.
你给的这个数就是ε,我就给你一个公式,算出了N,从N后面起,差值就小于 ε。
.
说到这里,你明白极限证明的论证过程了吗?
这个过程,是无穷列举理论化的过程;
这个过程,强调的是趋势,是无休止的趋势,是无止境的趋势,英文是tendency。
.
“任给”二字,体现的是 ε 可以无限地更改,无限的反悔;
根据 ε 算出来的 N,只是一个具体的数,N 之后的任何数,都可以作为 N;
这就是放大缩小的理论依据,只要能确定一个 N,从 这个 N 之后的任何数
都是 n。
.
【请记住】:
N、n 都仅仅只是项数!是 number of terms !
.
如果明白了,那就恭喜你!你已经掌握极限证明的真谛了!可喜可贺!
如果不明白,那也恭喜你!你终于体察出我们落后的原因!可喜可贺!
.
我们祖先,不落后人,他们也有悖论,也有极限思维。
我们后人,没有超越,我们没有开拓,落后始于极限。
.
如有疑问,欢迎追问,有问必答。
大学教师、教授,教微积分一辈子,穿凿附会一辈子,比比皆是。
大学教材,绝大多数都是垃圾教材,学生不被误导实在太难太难。
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二、楼主的题图上的 a 是数列的极限,是指 x₁、x₂、x₃、x₄、、、、
越来越趋向于 a,无止境地趋向于 a,跟 a 的差值,越来越趋于 0。
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三、关于极限证明的方法,用最通俗的话解答如下,楼主如有任何疑问,
欢迎追问,有问必答,有疑必释,直到满意。
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总体来说:
极限的证明过程,就是
一个吵架的过程;
一个理性争辩、逻辑辩论的过程;
一个穷举法的精简过程。
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下面以最通俗的语言,讲解一下证明的逻辑过程:
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1、我说:Xn的极限就是a,可是你不信。
2、你说:Xn与 a 有差值啊。
3、我问你:差值多少你能接受?你给出一个很小的数吧。
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你给出了一个很小很小的数,譬如0.0000123。
我计算了一下,我说当N大于100时(比方),两者之差就小于0.0000123了。
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你不服,又给出一个更小的数,譬如0.0000000000456。
我又计算了一下,我说当N大于1000时(也是比方),两者之差就小于0.0000000000456了。
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你依旧不服,你又给了更小更小的数,我又算;
你再给,我再算;
你再再给,我再再算;
、、、、、、
我说,算了吧,你给一个象征性的很小很小的数的代号,
我算一个用你的代号表示的公式给你,你自己计算,自己验证吧。
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你给的这个数就是ε,我就给你一个公式,算出了N,从N后面起,差值就小于 ε。
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说到这里,你明白极限证明的论证过程了吗?
这个过程,是无穷列举理论化的过程;
这个过程,强调的是趋势,是无休止的趋势,是无止境的趋势,英文是tendency。
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“任给”二字,体现的是 ε 可以无限地更改,无限的反悔;
根据 ε 算出来的 N,只是一个具体的数,N 之后的任何数,都可以作为 N;
这就是放大缩小的理论依据,只要能确定一个 N,从 这个 N 之后的任何数
都是 n。
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【请记住】:
N、n 都仅仅只是项数!是 number of terms !
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如果明白了,那就恭喜你!你已经掌握极限证明的真谛了!可喜可贺!
如果不明白,那也恭喜你!你终于体察出我们落后的原因!可喜可贺!
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我们祖先,不落后人,他们也有悖论,也有极限思维。
我们后人,没有超越,我们没有开拓,落后始于极限。
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|Xn-a|<e,e是任意的且大于0(e是任意的且大于0已知)等价于|Xn-a|<很小的值,|Xn-a|越小满足的Xn就越少。此时n的范围在缩小,在n>N(已知)的缩小方式中,只能通过增大N的方式。很小的值不断变小,都对应一个很大的N,很小的值小到一定程度,很大的N也大到一定程度,这个大非常非常大可以认为无穷大,此时n可以认为趋于无穷大。
1,想要任意e>0,有|Xn-a|<e(假如e在不断变小),在N>0,当n>N的条件下,必然对应着n趋于无穷大
2 任意e>0,有|Xn-a|<e等价于|Xn-a|<很小的值,对应着Xn趋于a
1,想要任意e>0,有|Xn-a|<e(假如e在不断变小),在N>0,当n>N的条件下,必然对应着n趋于无穷大
2 任意e>0,有|Xn-a|<e等价于|Xn-a|<很小的值,对应着Xn趋于a
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场景:中秋节,大A带着小A爬青城后山,从山下的客栈出发
小A:表哥,青城山是不是修仙的地方哇
大A:修仙游戏小说看多了吧,别磨磨唧唧了,赶紧出发吧
小A:表哥等等我
半个小时后
小A:表哥,这山到底多高呀,我们爬了山百分之多少了哇?需要爬几个小时呀
大A:还早吧,反正是来玩的,看看风景吧
一个小时后
小A:表哥你走慢点行不行,好累啊,我们是不是快到了
大A:行吧,我们走到前面的亭子歇一会儿,叫你平时锻炼身体不信,这么一会儿就不行了!我也没有来过,不知道我们的进度多少了,看前面的小朋友都比你快!
小A:终于可以缓一口气了,这山是不是没有山顶啊?
大A:废话,没山顶谁还来爬山!
小A:那如何能够说明这山是有顶峰的?
大A:你不是刚大一,学过高数吧?这玩意儿跟极限是如出一辙的
小A:表哥。爬个山还要学高数,至于吗?
(心想:其实我第一章就没学懂,只会用,那么晦涩的定义,写这书的人真是有毛病)
大A:看样子你是没学懂极限的定义,如果山有顶峰,我们可不可以理解成存在极限呢?
小A:这好理解嘛,如果山存在顶峰,说明它的高度是确定的,山高的数值就确定,当然也可以认为存在极限,不过这怎么可以跟极限的定义联系上呢?
大A:那你回顾一下极限定义是如何叙述的?
小A:(心想:卧槽,还好刚学背过概念)
存在一个x0,对于任意的x>x0时,存在一个ε>0,使得|f(x)-L|<ε,那么f(x))极限为L
大A:不错嘛,大致没记错,仔细看看跟爬山有什么相似之处
小A似懂非懂的想了想,一脸懵逼,说道:不知道呢?不带这么虐我的
大A:哈哈,所以说刚才的概念肯定是背住的,其实很好理解,你想为什么概念里会说存在一个x0?
小A:这不是定义嘛,我怎么知道学数学的怪咖为何这样写的
大A:其实x0就是起点,我们不管去哪儿都有一个起点对吧,在这个情景中,x0就是我们出发的客栈的位置
小A:那干嘛要有起点呀?我们爬山不关心起点在哪儿啊
大A:你说的没错,我们爬山确实不用关心起点在哪里,但是对于严谨的数学来说,不给起点,谁知道你何时何地出发的,没办法给出严谨的定义。我再举个栗子,你高中自学易语言的时候变量干嘛要初始化才能用
小A:不给初始化,计算机真的不知道它是什么东西,也就没法运行了
大A:对嘛,所有的程序语言都是这样,所以计算机才会给出一个默认值,假如你不初始化,它用默认值给你初始化。扯得有点远了,不管是
小A:表哥,青城山是不是修仙的地方哇
大A:修仙游戏小说看多了吧,别磨磨唧唧了,赶紧出发吧
小A:表哥等等我
半个小时后
小A:表哥,这山到底多高呀,我们爬了山百分之多少了哇?需要爬几个小时呀
大A:还早吧,反正是来玩的,看看风景吧
一个小时后
小A:表哥你走慢点行不行,好累啊,我们是不是快到了
大A:行吧,我们走到前面的亭子歇一会儿,叫你平时锻炼身体不信,这么一会儿就不行了!我也没有来过,不知道我们的进度多少了,看前面的小朋友都比你快!
小A:终于可以缓一口气了,这山是不是没有山顶啊?
大A:废话,没山顶谁还来爬山!
小A:那如何能够说明这山是有顶峰的?
大A:你不是刚大一,学过高数吧?这玩意儿跟极限是如出一辙的
小A:表哥。爬个山还要学高数,至于吗?
(心想:其实我第一章就没学懂,只会用,那么晦涩的定义,写这书的人真是有毛病)
大A:看样子你是没学懂极限的定义,如果山有顶峰,我们可不可以理解成存在极限呢?
小A:这好理解嘛,如果山存在顶峰,说明它的高度是确定的,山高的数值就确定,当然也可以认为存在极限,不过这怎么可以跟极限的定义联系上呢?
大A:那你回顾一下极限定义是如何叙述的?
小A:(心想:卧槽,还好刚学背过概念)
存在一个x0,对于任意的x>x0时,存在一个ε>0,使得|f(x)-L|<ε,那么f(x))极限为L
大A:不错嘛,大致没记错,仔细看看跟爬山有什么相似之处
小A似懂非懂的想了想,一脸懵逼,说道:不知道呢?不带这么虐我的
大A:哈哈,所以说刚才的概念肯定是背住的,其实很好理解,你想为什么概念里会说存在一个x0?
小A:这不是定义嘛,我怎么知道学数学的怪咖为何这样写的
大A:其实x0就是起点,我们不管去哪儿都有一个起点对吧,在这个情景中,x0就是我们出发的客栈的位置
小A:那干嘛要有起点呀?我们爬山不关心起点在哪儿啊
大A:你说的没错,我们爬山确实不用关心起点在哪里,但是对于严谨的数学来说,不给起点,谁知道你何时何地出发的,没办法给出严谨的定义。我再举个栗子,你高中自学易语言的时候变量干嘛要初始化才能用
小A:不给初始化,计算机真的不知道它是什么东西,也就没法运行了
大A:对嘛,所有的程序语言都是这样,所以计算机才会给出一个默认值,假如你不初始化,它用默认值给你初始化。扯得有点远了,不管是
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