如何理解数列极限的定义?
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设 {Xn} 为实数数列,a 为定数.若对任给的正数 ε,总存在正整数N,使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a,定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。
ε的双重性:
1、任意性:不等式|X n-a|<ε刻划了X n与a的无限接近程度,ε愈小,表示接近得愈好;而正数ε可以任意地小,说明X n与a可以接近到任何程度。然而,尽管ε有其任意性,但一经给出正整数N,ε就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出ε,又ε既是任意小的 正数,那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数,因此定义中 不等式|X n-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时,正由于ε是任意小正数,我们可限定ε小于一个确定的正数.另外,定义1中的|X n-a|<ε也可改写成|X n-a|≦ε。
2、相应性:一般说,N随ε的变小而变大,由此常把N写作N(ε),来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的,因为对给定的 ,比如当N=100时,能使得当n>N时有|xn-a|<ε,则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性,而不在于它的值的大小.另外,定义1中的,n>N也可改写成n≧N。
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