Question

设f在[a,b]上连续,且f[x]不恒等于零.证明:f^2[x]在[a,b]上的积分始终大于零

很急！！求解，万分感谢

Answer 1

显然：f^2[x]在[a,b]上的积分始终大于等于零

f在[a,b]上连续,且f[x]不恒等于零，故存在点c,f(c)不等于零,f^2[c]>0.由连续性：[存在[a,b]内的区间J使：f^2[x]>常数d>0.
所以：f^2[x]在[a,b]上的积分大于等于f^2[x]在J上的积分大于0

Answer 2

设某一点函数值不是0.则由函数连续，存在区间内这个点的邻域，邻域内函数值不为零（就是大于0），拆区间为三部分，邻域部分积分恒大于0，另两个区间积分非负，所以得正

Answer 3

f^2[x]是f的二阶导函数吗

追问

是f(x)的平方。用积分的定义和极限的限制直接推出来。拜托，帮帮忙

追答

首先，f^2[x]>=0,所以f^2[x]在[a,b]上的积分大于等于0；
f(x)不恒等于零,即存在点x0 ∈（a,b），使得f(x0)≠0,则|f(x0)|>0;
f在[a,b]上连续,所以存在点x0的邻域（x0,δ),使得|f(x)|>0,x∈（x0,δ)
所以在（x0,δ)上，f^2[x]>0，f^2[x]在[a,b]上的积分等于在[a,x0-δ]的积分加上在
(x0-δ,x0+δ)的积分再加上在[x0+δ,b]的积分；
显然大于等于在 (x0-δ,x0+δ)的积分，所以大于0.
所以f^2[x]在[a,b]上的积分始终大于零