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一道高中奥数题,求解!!!
设a,b是不全为零的整数,一切形如ax+by(x,y属于整数)的数中的最小正数是d,试证d=(a,b)...
设a,b是不全为零的整数,一切形如ax+by(x,y属于整数)的数中的最小正数是d,试证d=(a,b)
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2个回答
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a,b都不能为0吧,而不是不全为0 设d=(a,b),a=Ad,b=Bd,A与B互质,则ax+by=d(Ax+By),因为Ax+By为整数,又问的是最小正数,所以Ax+By=1才满足情况
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首先由d | a与d |b, 而x, y是整数, 可知d | f(x,y).
故f(x,y)取得的最小正整数值 ≥ d.
只要再证明f(x,y)可以取得d.
这是裴蜀定理, 即存在整数x, y使ax+by = (a,b) = d.
证明大致是用辗转相除, 见参考链接.
http://baike.baidu.com/view/1008375.htm
故f(x,y)取得的最小正整数值 ≥ d.
只要再证明f(x,y)可以取得d.
这是裴蜀定理, 即存在整数x, y使ax+by = (a,b) = d.
证明大致是用辗转相除, 见参考链接.
http://baike.baidu.com/view/1008375.htm
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