Question

一道高中奥数题，求解！！！

设a，b是不全为零的整数,一切形如ax+by（x，y属于整数）的数中的最小正数是d，试证d=（a，b）

Answer 1

a,b都不能为0吧，而不是不全为0 设d=(a,b),a=Ad,b=Bd,A与B互质，则ax+by=d(Ax+By),因为Ax+By为整数，又问的是最小正数，所以Ax+By=1才满足情况

Answer 2

首先由d | a与d |b, 而x, y是整数, 可知d | f(x,y).
故f(x,y)取得的最小正整数值 ≥ d.
只要再证明f(x,y)可以取得d.
这是裴蜀定理, 即存在整数x, y使ax+by = (a,b) = d.
证明大致是用辗转相除, 见参考链接.
http://baike.baidu.com/view/1008375.htm