幂级数∑(n=1,∞)(n+1)x^n的和函数为？
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简单计算一下即可，答案如图所示
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TableDI
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令和函数为f（x），则[x·f(x)]''=∑（n=1，∞）x^(n-1)=1/(1-x)
然后积分两次
第一次积分∫（1/(1-x))=-ln(1-x) (|x|<1),当x=0时，[x·f(x)]'=0
第二次积分∫【-ln（1-x)】=-x·ln(1-x)-∫x/(1-x)=(1-x)·ln(1-x)+x，这里用到了分部积分法，并注意初始值当x=0时，x·f(x)=0
因此f（x）=1-ln（1-x)+[ln(1-x)]/x ,|x|<1
然后积分两次
第一次积分∫（1/(1-x))=-ln(1-x) (|x|<1),当x=0时，[x·f(x)]'=0
第二次积分∫【-ln（1-x)】=-x·ln(1-x)-∫x/(1-x)=(1-x)·ln(1-x)+x，这里用到了分部积分法，并注意初始值当x=0时，x·f(x)=0
因此f（x）=1-ln（1-x)+[ln(1-x)]/x ,|x|<1
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