Question

用两种方法求下列微分方程的通解 (x²-1)y'+2xy-cosx=0

大学数学微分方程

Answer 1

解1 (x²-1)y'+2xy=0，
分离变量得dy/y=-2xdx/(x^2-1),
积分得lny=-ln(x^2-1)+lnc,
所以y=c/(x^2-1).
设y=c(x)/(x^2-1)是(x²-1)y'+2xy-cosx=0①的解，则
y'=c'(x)/(x^2-1)-2xc(x)/(x^2-1),
代入①，得c'(x)=cosx,
所以c(x)=sinx+c,
所以y=(sinx+c)/(x^2-1),为所求。
解2 两边都乘以dx,得(x^2-1)dy+2xydx-cosxdx=0,
化为d[y(x^2-1)-sinx]=0,
积分得y(x^2-1)-sinx=c,
所以y=(sinx+c)/(x^2-1).

追问

还能不能想到其他方法？

追答

可以。

Answer 2

因为该方程是一个一阶线性常微分方程，所以除了常数变易法以外，还可用公式法来解，公式如下：
微分方程 y'+p(x)y=q(x) 的通解为
y=[e^-∫p(x)dx]{∫[q(x)e^∫p(x)dx]dx+C}，
解法如下：
原方程可化为 y'+[2x/(x²-1)]y=(cosx)/(x²-1)，
由一阶线性微分方程通解公式得原方程通解为
y=[1/(x²-1)]{∫cosxdx+C}，
化简得 y=(sinx+C)/(x²-1).

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示