Question

在数列｛An｝中，A1=5,A2=2,对于任意正整数n,满足An+2=2An+1 +3An

Answer 1

A(n)-3A(n-1)=-[A(n-1)-3A(n-2)]
所以A(n)-3A(n-1)是首项为-13，公比为-1的等比数列
A(n)-3A(n-1)=-13*(-1)^(n-1-1)=13*(-1)^(n-1)
(1)
A(n)+A(n-1)=3[A(n-1)+A(n-2)]
所以A(n)+A(n-1)是首项为7，公比为3的等比数列
A(n)+A(n-1)=7*3^(n-1-1)=7*3^(n-2)
(2)
由(1)式+3*(2)式得
4A(n)=13*(-1)^(n-1)+7*3^(n-1)
所以A(n)=[13*(-1)^(n-1)+7*3^(n-1)]/4
A(2k+1)=4/[7*3^(2k)+13]<4/(7*9^k)
A(1)+A(3)+A(5)+...+A(2k+1)<4/7*(1+1/9+1/81+....+1/9^k)=4/7*[1-(1/9)^(k+1)]/(1-1/9)
=9/14[1-(1/9)^(k+1)]<9/14

Answer 2

证明：
1.因为
A
（n+2）=2A（n+1）+3An

所以
A（n+2）-3A（n+1）=
-1（A（n+1）-3An）
即
（A（n+2）-3A（n+1））/（A（n+1）-3An）=
-1

同理 （
A（n+2）+A（n+1））/（A（n+1）+An）=3
所以
两个数列都是公比分别为
-1
，3的等比数列
2.
由第一问可以得到：A（n+1）-
3An=
-3
*
（-1）^（n-1）

A（n+1）-
An=
-
3^n
所以两式相减得：
An
=
（-3
+
3
*
（-1）^（n-1））/2
3.
1/An
=
2/（3
-
3^n）
当n为奇数时

又因为 1/
An
<
0
所以
1/A1+1/A2+1/A3+...+1/An <
0
<9/14
所以
1/A1+1/A2+1/A3+...+1/An <
9/14

Answer 3

一
两边都减去3An+1有An+2
-3An
+1
=
-(An+1
-3An)可得第一问2
两边加上An+1有An+2
+An+1=3(An+1
+
An)可得第一问2
二
由第一问中的关系可以推出An+1
-
3An
和
An+1
+An
的两个关系式
相减就可以得到An的通项公式
三
俄没推出通项公式
么做