Question

设函数f(x)=ax^2+x-a,x属于[-1,1]时的最大值为M(a)

设函数f(x)=aX^2+x-a(x属于[-1,1])的最大值为M(a)，则对于一切a[-1,1]，M(a)的最大值。

Answer 1

答：
f(x)=ax²+x-a
当a=0时，f(x)=x，在区间[-1,1]上最大值为M(a)=1
当对称轴x=-1/(2a)<=-1即0<a<=1/2时，f(x)在区间[-1,1]上递增，M(a)=f(1)=a+1-a=1
当对称轴-1<=x=-1/(2a)<0即a>=1/2时，x=1时取得最大值，M(a)=f(1)=1
当对称轴0<x=-1/(2a)<=1即a<=-1/2时，抛物线开口向下，最大值M(a)=f(-1/2a)=-a-1/(4a)
当对称轴x=-1/(2a)>1即-1/2<a<0时，抛物线开口向下，f(x)在区间[-1,1]上递增，M(a)=f(1)=1
综上所述：
a<=-1/2时，M(a)=-a-1/(4a)>=2√[-a*1/(-4a)]=1
a>=-1/2时，M(a)=1
当-1<=a<=1时，a=-1时M(a)取得最大值为1+1/4=5/4