Question

试求7的7次方的7次方..7（很多个7的7次方）的末两位数

用数论的方法解！！！！！！急求！！！！

Answer 1

解：7的0次方的末两位=01（一位数前面补个0）
7的1次方的末两位=07
7的2次方的末两位=49
7的3次方的末两位=43
7的4次方的末两位=01
7的5次方的末两位=07
......
所以7的(4k+n)次方的末两位=7的n次方的末两位（k、n均为自然数，且0≤n≤3）
故7的7次方的末两位数=43，它除以4的余数是3，因此7的7次方除以4的余数是3
所以7的7次方的7次方的末两位数=7的3次方的末两位数=43.
以此类推，7的7次方的7次方..7次方，无论有多少个7的7次方，
只要多于2个，它的末两位数一定是43.

望采纳，谢谢！

Answer 2

这个数列相当于a[1] = 7, a[n] = 7^a[n-1] (n > 1).
求a[n]末两位数, 即求a[n]除以100的余数.

首先证明对任意n, a[n] ≡ -1 (mod 4).
对n = 1, a[1] = 7 ≡ -1 (mod 4).
而对n > 1, 由a[n-1]为奇数, a[n] = 7^a[n-1] ≡ (-1)^a[n-1] = -1 (mod 4).
因此a[n] ≡ -1 (mod 4)对任意正整数n成立, 即a[n]-3是4的倍数.

又注意到7^4 = 2401 ≡ 1 (mod 100), 于是对任意正整数k, 有7^(4k) ≡ 1 (mod 100).
因此对n > 1, a[n] = 7^a[n-1] = 7^(a[n-1]-3)·7³ ≡ 7³ = 343 ≡ 43 (mod 100).
即n > 1时, a[n]的末两位数恒为43.

Answer 3

首先7^1的末两位是 07 7^2的末两位是 49 7^3的末两位是 43 7^4的末两位是 01
7^5的末两位是 07 7^6的末两位是 49 7^7的末两位是 43 7^8的末两位是 01 ……
故末尾2位数以4个为周期，周期性的出现，故只需要计算 7的7次方的7次方..7（很多个7的7次方）模4等于多少
7^(7^7^7…^7)=(2×4-1)^(7^7^7…^7) 模4 为 3 （因为7^7^7…^7是奇数）
故7^(7^7^7…^7)的末两位数为43