Question

设函数f(x)=xe∧x,g(x)=ax∧2+x.若当x≥0时 恒有f(x)≥g(x)，求a的取值范围

设函数f(x)=xe∧x,g(x)=ax∧2+x.若当x≥0时 恒有f(x)≥g(x)，求a的取值范围

Answer 1

即ax²≤xe^x-x,在x>=0时恒成立.
x=0时，成立
x>0时即 a≤e^x/x-1/x=(e^x-1)/x 恒成立
设g(x) =(e^x-1)/x (x>0)
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²+1/x²=[e^x(x-1)+1]/x²
h(x)=e^x(x-1)+1
h'(x)=e^x(x-1)+e^x=xe^x>0恒成立
∴h(x)为增函数
∴h（x)>h(0)=0
即g'(x)>0恒成立
∴g(x)为增函数
lim(x-->0)(e^x-1)/x
=lim(x-->0)e^x
=1
x-->0时，g(x)-->1
∴g(x)>1
∴a的取值范围是a≤1