Question

如图,BE、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线 求证:∠E=1/2(∠A+∠C)

Answer 1

证明：将AB与DE的交点设为G，设∠CBE＝∠1, ∠ABE＝∠2, ∠CDE＝∠3, ∠ADE＝∠4
∵BE平分∠ABC
∴∠1＝∠2, ∠ABC＝2∠2
∴∠AFC＝∠C+∠ABC＝∠C+2∠2
∵DE平分∠ADC
∴∠3＝∠4, ∠ADC＝2∠4
∴∠AFC＝∠A+∠ADC＝∠A+2∠4
∴∠C+2∠2＝∠A+2∠4
∴∠2-∠4＝（∠A-∠C）/2
∵∠AGE＝∠A+∠4, ∠AGE＝∠E+∠2
∴∠A+∠4＝∠E+∠2
∴∠2-∠4＝∠A-∠E
∴∠A-∠E＝（∠A-∠C）/2
∴∠E＝（∠A+∠C）/2

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Answer 2

连接EF则∠F是△FEB和△FED的双外角
∴∠F=∠E+1/2∠B+1/2∠D
即 2∠F=2∠E+∠B+∠D---------------------------1）
又 ∠F是△FBC和△FAD的双外角
∴2∠F= （∠A+∠D）+（∠C+∠B）------------2）
2∠E+（∠B+∠D）=∠A+∠C+（∠B+∠D）
∴2∠E=∠A+∠C
∴∠E=1/2(∠A+∠C)

追问

连接EF后，原先的∠F就被分成了两个角，后面不是要变的么

Answer 3

解：设BE、CD交于G,则∠BFD=∠GBF+∠BGF=1/2∠ABC+∠E+1/2∠CDE
于是，2∠BFD=2∠E+∠ABC+∠CDA①
又∵∠F是△FBC和△FAD的双外角
∴2∠BFD=（∠A+∠ADC）+（∠C+∠ABC)②
2∠E+∠ABC+∠ADC=∠A+∠C+∠ABC+∠ADC
∴2∠E=∠A+∠C
∴∠E=1/2(∠A+∠C)