Question

数列的待定系数法~~

麻烦各位帮忙讲解一下数列的待定系数法~~
它的应用和举几个例题~~~
非常感谢~~

Answer 1

用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13
∴ an－13 =－2（an－1－13 ）
故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列
∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3
评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有
（A－1）x=B知x=BA－1 ，从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ），于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA－1 、公比为A的等比数列，故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1，从而
an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。
解：令an＋x•13n=2（an＋x•13n-1）则an=2an－1+ 2x•13n-1－x•13n=53 x•13n-1=5x•13n
而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。故an＋15 •13n＝2（an－1＋15 •13n-1）
从而{an＋15 •13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 •13=1615 的等比数列。
于是an＋15 •13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 •13n=115 （2n+3－13n－1）
评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？
我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：
数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ，求其通项公式。
在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。

通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=34 。由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－14 an-1，则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列，则an=34 （－14 ）n-1
评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式