Question

设f(x)=lnx+a/x 判断f(x)在定义域内是否有零点,若有,有几个

分情况讨论后可知0＜a＜1/e时有两个零点，但函数定义域为（0，﹢∞），即使最小值＜0，f（0）也未确定，怎样说明有两个零点？

Answer 1

f"(x)=1/x-a/[(x)^2]

另f"(x)=0,x=0(舍)或x=a

当a>0时

f(a)=lna+1

当lna+1>0即a>1/e时，没有零点，当a=1/e时，有一个零点，当0<a<1/e时有两个零点

当a<=0时

又f(1)=a<0,f(+∞)>0

此时有一个零点

Answer 2

求导f'(x)=(x-a)/x^2，可以看出a<=0时f恒为增函数，只有一个零点。
当a>0时，f在（0，a）为减函数，（a,﹢∞）为增函数。即f(a)取最小值，f(a)=lna+1，由楼主所说，0＜a＜1/e时，f(a)<0，结合增减函数性质（画画图就知道了），此时函数有两个零点。
若a=1/e有一个零点，若a>1/e没有零点。
以上结合就行。

Answer 3

令f（x）=0 a=-xlnx g(x)=-xlnx g'(x)=-1-lnx g'(x)=0 x=1/e x=1/e g(x)取极小值 即最小值 g(1/e)=1/e a=1/e 一个 a＞1/e 两个 a＜1/e 零个

Answer 4

如果是大学题洛必达法则就可，如果是高中，要用放缩法找隐零点