Question

如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点。求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

答案是1/2根号2。过程很复杂。真要的话，我拍照给你。

 快乐欣儿姐 有错。不是m+n，是m+n的平方，漏了平方。

Answer 2

一、当直线AB不存在斜率时，AB的方程显然是x＝－1。
　　令x^2＋2y^2＝2中的x＝－1，得：1＋2y^2＝2，∴y^2＝1/2，∴y＝√2/2，或y＝－√2/2。
　　∴此时｜AB｜＝√2。
　　很明显，点O到AB的距离＝1。∴此时S(△AOB)＝（1/2）｜AB｜×1＝√2/2。

二、当直线AB存在斜率时，令其斜率＝k，则AB的方程是：y＝k（x＋1），即x＝y/k－1。
　　联立：x＝y/k－1、x^2＋2y^2＝2，消去x，得：（y/k－1）^2＋2y^2＝2，
　　∴（1/k^2）y^2－（2/k）y＋1＋2y^2＝2，∴（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0。
　　
　　∵A、B都在直线x＝y/k－1上，∴可令A、B的坐标分别为（m/k－1，m）、（n/k－1，n）。
　　显然，m、n是方程（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0的根，∴由韦达定理，有：
　　m＋n＝（2/k）/（2＋1/k^2）、mn＝－1/（2＋1/k^2）。

　　∵直线AB过点（－1，0），∴m、n异号，不妨设m＞0，则｜m｜＋｜n｜＝m－n。
　　∴此时，
　　S(△AOB)
　　＝（1/2）｜m｜＋（1/2）｜n｜＝（1/2）（m－n）＝（1/2）√［（m＋n）－4mn］。

　　自然，当［（m＋n）－4mn］有最大值时，S(△AOB)就有最大值。
　　而［（m＋n）－4mn］
　　＝（2/k）/（2＋1/k^2）＋4/（2＋1/k^2）
　　＝2/（k＋2/k）＋4/（k＋2/k）＝6/（k＋2/k）。
　　考虑到椭圆的对称性，只需要考虑k＞0就可以了，此时有k＋2/k≧2√2，
　　∴［（m＋n）－4mn］≦6/（2√2）＝（3/2）√2。
　　∴此时S(△AOB)的最大值＝（1/2）√［（3/2）√2］＝（1/4）√（6√2）。

∵64＜72，∴8＜6√2，∴2√2＜√（6√2），∴√2/2＜（1/4）√（6√2）。
∴综合一、二，得：S(△AOB)的最大值是（1/4）√（6√2）。

Answer 3

方法是将方程AB与椭圆解析式联之成方程组，设A(x1，y1)B(x2，y2)，代入y，用韦达定理将S三角表示成关于K(AB斜率)的解析式，但是计算过于复杂，是否抄错题目？？？？