Question

怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约？

高等代数的牛顿有理根定理类似

Answer 1

条件应该有a, b都是有理数且a ≠ 0.
证明其实不难.

充分性可表述为: 若f(x)可约, 则f(ax+b)可约.
由f(x)可约, 可设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x),h(x)是次数不小于1的有理系数多项式.
于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).
而a, b都是有理数且a ≠ 0, 故g(ax+b), h(ax+b)也是次数不小于1的有理系数多项式.
故f(ax+b)可约.

必要性可表述为: 若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.
设F(x) = f(ax+b), c = 1/a, d = -b/a, 有a(cx+d)+b = x.
于是F(cx+d) = f(a(cx+d)+b) = f(x).
而在充分性部分已证: 若F(x)可约, 则F(cx+d)可约.
即若f(ax+b)可约, 则f(x)可约.