Question

设正数x,y,z,满足不等式:x^2+y^2-z^2/2xy+y^2+z^2-x^2/2yz+z^2+x^2-y^2/2zx>1

设正数x,y,z,满足不等式:(x^2+y^2-z^2/2xy)+(y^2+z^2-x^2/2yz)+(z^2+x^2-y^2/2zx)>1,求证：以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形。

Answer 1

条件应该是这样的吧: (x²+y²-z²)/(2xy)+(y²+z²-x²)/(2yz)+(z²+x²-y²)/(2zx) > 1.
由x, y, z > 0, 两边同乘2xyz得(x²+y²-z²)z+(y²+z²-x²)x+(z²+x²-y²)y > 2xyz..
即x²y+xy²+y²z+yz²+z²x+zx²-x³-y³-z³-2xyz > 0.
也即(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) = x²y+xy²+y²z+yz²+z²x+zx²-x³-y³-z³-2xyz > 0.

由对称性不妨设x ≥ y ≥ z, 则有x+y-z ≥ x > 0, z+x-y ≥ z > 0.
由乘积大于0得y+z-x > 0, 于是x, y, z可以成为三角形的三边.

Answer 2

思想是证明两边之和大于第三边，构造类似于x+y-z>0这种形式